4.7 Cálculo de integrales expresadas como serie de Taylor.

Teorema del polinomio
En ocasiones se desea aproximar una funcion f(x) en un intervalo I. Lo mas comun es proximar la funcion con polinomios. En el caso de polinomios de Taylor,
la funcion f(x) continuay n+1 veces derivable, en el intervalo Ise aproxima mediante un polinomio p(x) de grado n, que tiene el mismo valor de la funcion
en un punto a  I, ademas, la funcion y el polinomio coinciden en el valor de todas sus derivadas hasta de orden n en el punto a:
f(a)= p(a)
f^k(a)=P^k(a) k=1,2...,n
A este polinomiop se le llama la expansion polinomial de Taylor de orden n de la funcion F(x) en el punto a( o al rededor del punto a).
Para expresarel polinomio de grado n:p(x), considerese que tiene la forma:
p(x)= p0 +p1(x-a)+ p2(x-a)^2 + ... +pn(x-a)^n
Donde p0, p1, ..., pn, son coeficientes por evalauar a partir de los requisitos (A) que debe llenar el polinomio y resultan:
P(a)= p0= f(a)
p'(a)= p1 = f'(a)
P''(a)=2!p2= f''(a)

.
p^n(a)= n!pn= f^n(a)

Si, el polinomio de Taylor de orden n de la funcion f(x) en el punto a es:
p(x)= F(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)/2!  (x_a)^2 +... + F^n(a)/n! (x-a)^n

p(x) representa una aproximacion a f(x) en algun intervalo que contiene al punto a. La diferencia entre el valor del polinomio y el de la funcion para
un punto xen el intervalo I donde se considera la expresion es eñl residuo Rn(x), por construccion Rn(a)= 0. Con el residuo se tiene la ecuacion
f(x)= f(a) + (x-a) f'(a)+ (x-a)^2/ 2! f''(a) + ... + (x-a)^n /n!  f^n (a) + R^n (x)



Bibliografia:   Calculo diferencial e integral. Audry Javier. Editorial Trillas