4.6 Representación de funciones por la serie Taylor.

Teorema

La serie infinita(B) representa la fincio para aquellos valores de x, y solamente para aquellos, para los cuales el resudio tiende a 0 cuando el numero s de terminos aumenta infinitamente.

Si la serie es convergente para valores de x para los cuales el residuo no tiene a 0 al crecer n infinitamente , entonces para tales valores de x la serie no representa la funcion f(x).

Por lo cimun es mas facil determinar el intervalo de convergencia de la serie que determina el intervalo para el que el residuo tiende a 0; pero en los caso sencillos los dos intervalos son identicos.

Cuando los valores de una funcion y sus derivadas sucesivas son  conocidos como y son finitos para algun valor fijo de la variable, como x=a, entonces (B) se emplea a fin de hallar el valor de la funcion para valores de x cercanos a  a , y (B) se llama tambien el desarrollo de f(x) en la vercindad de x=a.


 Ejemplo:

Desarrollar  ln x en potencias de (x-1)


Solucion:


f(x)= lnx                                                   f(1)= 0
f'(x)= 1/x                                                  f'(x)= 1
f''(x)= -1/x^2                                            f''(x)= -1
f'''(x)= 2/x^3                                            f'''(x)= 2

y asi sucesivamente....



Bibliografia: Calculo diferencial e integral. Granville. Editorial Limusa