Calculo Integral: mayo 2011

lunes, 30 de mayo de 2011

4.4Radio de convergencia

En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ , con $a_n,x,x_0\in\mathbb{R}$ , viene dado por la expresión:

$R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |}$

Definición

Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ , con $a_n,x,x_0\in\mathbb{R}$ , recibe el nombre de serie de potencias centrada en $x 0$ . La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de $x$ que verifica que $| x - x 0 | < r$ , donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de $x$ pertenecientes al intervalo $(x 0 - r,$ $x 0 + r)$ , ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para $x 0$ , $r = 0$ . Si lo hace para cualquier valor de $x$ , $r =$ $\infty \,\!$ .

Ejemplos

Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado.

Radio de convergencia finito

La función

1 / (1 - x)

en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia

x - x 0 = x - 0 = x

, tiene el siguiente aspecto:

$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+...$ .

(para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es $r = 1$ . Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al

x 0 = 0

es menor que

r = 1

, por ejemplo el

x = 0.25

, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho

$\sum_{n=0}^\infty 0.25^n=1+0.25+0.25^2+0.25^3+...=\frac{4}{3}$ .

(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado

$\frac{1}{1-0.25}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$ .

Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el

x = 2

, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:

$\sum_{n=0}^\infty 2^n=1+2+2^2+2^3+...=\infty$ .

Distancia a la singularidad

El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma función

1 / (1 - x)

en su desarrollo con centro

x 0 = 3

tiene la forma:

$\frac{1}{1-x}=-\frac{1}{2}+\frac{x-3}{4}-\frac{(x-3)^2}{8}+\frac{(x-3)^3}{16}-...$ .

Pero en este caso su radio de convergencia es $r = 2$ . Notemos que la función

1 / (1 - x)

tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad:

| 0 - 1 | = 1

| 3 - 1 | = 2

. Esto será siempre verdadero para ésta función, pero, no puede generalizarse, como veremos en el siguiente ejemplo:

$\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2}+\frac{(x-1)^2}{4}-\frac{(x-1)^4}{8}+\frac{(x-1)^5}{8}-...$

Como no hay singularidades reales podría suponerse que el radio es infinito, sin embargo su radio de convergencia es $r=\sqrt{2}/2$ . Este radio parece caprichoso pero tiene que ver con el hecho de que pasando la función a dominio complejo, existe una singularidad en el denominador.La serie

Radio de convergencia infinito

Por ejempo, la función

e x

puede desarrollarse en series de potencia de

x - 0 = x

, de hecho $e^{x}=\sum_{n=0}^\infty x^n/n!=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...$ .

y esto vale para todo real

x

por eso el radio de convergencia será infinito

viernes, 27 de mayo de 2011

4.5 Serie de Taylor

Una serie de potencias de x convergente se adapta bien al proposito de calcular el valor de la funcion que
representa para valores pequeños de x (proximos a 0). Ahora deduciremos n desarrollo de potencias de x-a,
siendo un numero fijo. La serie que asi se obtiene se adapta al objeto de calcular la funcion que representa

Una serie de potencias de x convergente se adapta bien al proposito de calcular el valor de la funcion que
representa para valores pequeños de x (proximos a 0). Ahora deduciremos n desarrollo de potencias de x-a,
siendo un numero fijo. La serie que asi se obtiene se adapta al objeto de calcular la funcion que representa
para valores de x cercanos a a.

EJEMPLO:
Supongase que:
f(x)= f(a)+ f'(a) (x-a)/1 +....
+ f^(n-1) (a) (x-a)^n-1/ n-1 + R,
En donde:

R= f^(n) (x1) (x-a)^n / n (a
El termino R se llama termino complementario o residuo despues de n terminos

miércoles, 25 de mayo de 2011

4.6 Representación de funciones por la serie Taylor.

Teorema

La serie infinita(B) representa la fincio para aquellos valores de x, y solamente para aquellos, para los cuales el resudio tiende a 0 cuando el numero s de terminos aumenta infinitamente.

Si la serie es convergente para valores de x para los cuales el residuo no tiene a 0 al crecer n infinitamente , entonces para tales valores de x la serie no representa la funcion f(x).

Por lo cimun es mas facil determinar el intervalo de convergencia de la serie que determina el intervalo para el que el residuo tiende a 0; pero en los caso sencillos los dos intervalos son identicos.

Cuando los valores de una funcion y sus derivadas sucesivas son conocidos como y son finitos para algun valor fijo de la variable, como x=a, entonces (B) se emplea a fin de hallar el valor de la funcion para valores de x cercanos a a , y (B) se llama tambien el desarrollo de f(x) en la vercindad de x=a.

Ejemplo:

Desarrollar ln x en potencias de (x-1)

Solucion:

f(x)= lnx                                                   f(1)= 0
f'(x)= 1/x                                                  f'(x)= 1
f''(x)= -1/x^2                                            f''(x)= -1
f'''(x)= 2/x^3                                            f'''(x)= 2

y asi sucesivamente....

Bibliografia: Calculo diferencial e integral. Granville. Editorial Limusa

lunes, 23 de mayo de 2011

4.7 Cálculo de integrales expresadas como serie de Taylor.

Teorema del polinomio
En ocasiones se desea aproximar una funcion f(x) en un intervalo I. Lo mas comun es proximar la funcion con polinomios. En el caso de polinomios de Taylor,
la funcion f(x) continuay n+1 veces derivable, en el intervalo Ise aproxima mediante un polinomio p(x) de grado n, que tiene el mismo valor de la funcion
en un punto a I, ademas, la funcion y el polinomio coinciden en el valor de todas sus derivadas hasta de orden n en el punto a:
f(a)= p(a)
f^k(a)=P^k(a) k=1,2...,n
A este polinomiop se le llama la expansion polinomial de Taylor de orden n de la funcion F(x) en el punto a( o al rededor del punto a).
Para expresarel polinomio de grado n:p(x), considerese que tiene la forma:
p(x)= p0 +p1(x-a)+ p2(x-a)^2 + ... +pn(x-a)^n
Donde p0, p1, ..., pn, son coeficientes por evalauar a partir de los requisitos (A) que debe llenar el polinomio y resultan:
P(a)= p0= f(a)
p'(a)= p1 = f'(a)
P''(a)=2!p2= f''(a)

.
p^n(a)= n!pn= f^n(a)

Si, el polinomio de Taylor de orden n de la funcion f(x) en el punto a es:
p(x)= F(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)/2! (x_a)^2 +... + F^n(a)/n! (x-a)^n

p(x) representa una aproximacion a f(x) en algun intervalo que contiene al punto a. La diferencia entre el valor del polinomio y el de la funcion para
un punto xen el intervalo I donde se considera la expresion es eñl residuo Rn(x), por construccion Rn(a)= 0. Con el residuo se tiene la ecuacion

f(x)= f(a) + (x-a) f'(a)+ (x-a)^2/ 2! f''(a) + ... + (x-a)^n /n! f^n (a) + R^n (x)

Bibliografia: Calculo diferencial e integral. Audry Javier. Editorial Trillas