Desde sierre, hemos tenido la noción de longitud, y siempre nos ha parecido muy sencillo medir objetos, usando los diferentes instrumentos de medición o simplemente calculando dichas longitudes usando formulas sencillas que nos sirven básicamente para estimar medidas de rectas o circunferencias; de manera que ahora tendremos la oportunidad de calcular longitudes pero esta vez de segmentos curvos.
De nuestra experiencia en cursos anteriores, hemos aprendido a calcular la distancia entre dos puntos usando la formula que deriva del teorema de Pitágoras:
Esta formula nos será útil para lograr nuestro propósito de medir la longitud de arco, pero antes tenemos que tener en cuenta que para poder realizar este cálculo, es necesario que la curva además de ser continua en un intervalo cerrado, sea también continua su derivada en el mismo intervalo [a,b]. También hay que saber que, no todas las curvas tienen longitud finita entre dos de sus puntos; si una curva tiene longitud finita entre dos de sus puntos, se dice que es rectificable entre esos dos puntos.
Gráfica 11.
Sea f(x), una función rectificable en el intervalo cerrado [a,b], aproximamos la curva de su gráfica mediante segmentos de recta, para hallar una estimación de su longitud. Tenemos i, donde es la partición correspondiente de [a,b] tal que
a = n1< n2< n3< n4<…< ni = b
Con esto, siendo , estimamos una aproximación de la longitud del arco, que denotamos s, así:
para:
y
podemos estimar la longitud de ese en todo el intervalo [a,b], así:
tomando el límite en el lado derecho y sacando un factor común ( x)2, podemos afirmar que la longitud del arco es:
ahora, como f'(x), es continua, entonces es aplicable el teorema del valor medio de modo que existe algún ci en [xi-1,xi], tal que:
o equivalente:
así, podemos decir que:
que realmente es equivalente a:
que finalmente es lo que definimos en cálculo integral como longitud de arco.
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