3.0 Areas

Áreas

un cuadrado = a²
un rectángulo = ab
un paralelogramo = bh
un trapesoide = (h/2) (b₁ + b₂)
un círculo = pi r²
un elipse = pi r₁ r₂
un triángulo = (1/2) b h
un triángulo equilátero = (1/4)(3) a²
un triángulo cuando se sabe SAS = (1/2) a b sin C
un triángulo cuando se sabe a,b,c = [s(s-a)(s-b)(s-c)] cuando s = (a+b+c)/2 (La fórmula de Herón)
polígono regular = (1/2) n sen(360°/n) S²
cuando n = # de lados y S = la largura desde el centro a un punto

---

Volúmenes

un cubo = a³
un prisma rectangular = a b c
un prisma irregular = b h
un cilindro = b h = pi r² h
una pirámide = (1/3) b h
un cono = (1/3) b h = (1/3) pi r² h
una esfera = (4/3) pi r³
un elipsoide = (4/3) pi r₁ r₂ r₃

---

Áreas de Superficies

un cubo = 6 a²
un prisma:
(área lateral) = perímetro (b) L
(área total) = perímetro(b) L + 2b
una esfera = 4 pi r²


http://math2.org/math/geometry/es-areasvols.htm

Aplicacion del tema 3.2

3.1.1 Área bajo la gráfica de una función.

INTEGRAL DEFINIDA
“Si en cualquier figura delimitada por rectas y por una curva; se inscriben y circunscriben rectángulos en número arbitrario, y si la anchura de tales rectángulos se va disminuyendo a la par que se aumenta su número hasta el infinito, afirmo que las razones entre las figuras inscrita y circunscrita y la figura curvilínea acabarán siendo razones de igualdad”­--- Isaac Newton.
El área, es un concepto familiar para todos nosotros, por el estudio de figuras geométricas sencillas como el triángulo, el cuadrado, el círculo y el rectángulo. La idea o el concepto que manejamos de área, es la magnitud que mide de algún modo el tamaño de una región acotada, es decir, cuanto mide una superficie. Ciertamente, para hallar el área de las figuras geométricas sencillas que ya conocemos, disponemos de formulas matemáticas que facilitan este cálculo.
Ahora, nuestro problema consiste en encontrar un método, que nos permita calcular el área de cualquier región, sin importar la forma que esta tenga. Para lograr esto, es necesario primero introducir el símbolo o la notación de Sumatoria. Para representar esto, se una la letra griega mayúscula “sigma”, para abreviar la sumatoria, y se usa de este modo:


y sus partes son:
a: representa los términos de la sumatoria

ak: representa el termino k-ésimo de la sumatoria

an: representa el termino n-ésimo y último de la sumatoria

k: es el índice de la sumatoria

1: es el límite inferior de la sumatoria

n: es el límite superior de la sumatoria



Gráfica 1.
Como habíamos mencionado anteriormente, nuestra preocupación ahora, es encontrar el área de cualquier superficie sin importar su forma. Supongamos que queremos hallar el área de la región comprendida entre el eje x, la recta x=a, la recta x=b y la gráfica de la función f(x) (Gráfica 1).



Gráfica 2.
Ahora, supongamos que tomamos la región y la dividimos en una serie de rectángulos de base x (Gráfica 2.). Si lográramos calcular el área de cada uno de esos rectángulos, y las sumáramos todas, obtendríamos una aproximación del área total de la región que deseamos.
Pero como ya vimos que esa sumatoria se puede reducir a una sola expresión, podríamos hacerlo de modo que, tomemos un valor xi, dentro del intervalo [a,b], tal que exista xi y un f(xi), de tal manera que se cumpla que:



de esta manera se puede calcular el área de ese rectángulo así:

,

Puesto que el área de un rectángulo, como todos sabemos, es base por altura. Debido a que este rectángulo puede ser cualquier rectángulo dentro de la región, puesto que xi puede ser cualquier valor, ya podemos sumar sus áreas para lograr la aproximación:

,

Donde esta sumatoria nos representa el área aproximada de la región que deseamos. Como ya habíamos visto que xi, representa cada una de las particiones de nuestra región, ahora definamos a P como la partición más grande de todas, es decir la base de rectángulo más grande de dotas las de la región y n el número de particiones. Así, si hacemos que P se haga tan pequeño como pueda o que el número de particiones n, se haga lo más grande que pueda, hallamos una mejor aproximación del área que buscamos (Gráfica 3).



Gráfica 3.
De aquí podemos deducir que si hallamos el Límite cuando el número de rectángulos sea muy grande o cuando las longitudes de las bases de esos rectángulos sean muy pequeñas, lograremos la mejor y más exacta aproximación del área que tanto hemos buscado. Y esto se representa así:

,

que es equivalente a,

,
con esto ya encontramos la mejor aproximación del área. Ahora si, podemos definir la integral definida ya que,



Por lo tanto podemos deducir que la integral definida es una suma y así la hemos definido. Y de esta manera, también hemos mostrado la primera aplicación de la integración definida, hallar el área bajo una curva.
Ya que definimos la integral definida, identifiquemos cual es su notación y las partes que la componen.



Toda la expresión se lee, integradle f(x), desde a hasta b; a y b, son los límites de integración, donde a es el límite inferior y b es el límite superior. El símbolo", es una s mayúscula alargada, que significa suma y se llama símbolo de integración. La función f(x), es el integrando y el dx, se llama diferencial y es el que lleva la variable de integración que en este caso es x.

3.1.2 Área entre las gráficas de funciones.

3.2 Longitud de curvas.

Hasta ahora, hemos usado la integral definida para calcular magnitudes con unidades cúbicas y con unidades cuadradas; esto nos lleva a preguntarnos, ¿podemos medir unidades lineales mediante la integral definida? Pues en esta aplicación veremos como podemos medir longitudes usando esta magnífica herramienta del cálculo.


Desde sierre, hemos tenido la noción de longitud, y siempre nos ha parecido muy sencillo medir objetos, usando los diferentes instrumentos de medición o simplemente calculando dichas longitudes usando formulas sencillas que nos sirven básicamente para estimar medidas de rectas o circunferencias; de manera que ahora tendremos la oportunidad de calcular longitudes pero esta vez de segmentos curvos.
De nuestra experiencia en cursos anteriores, hemos aprendido a calcular la distancia entre dos puntos usando la formula que deriva del teorema de Pitágoras:






Esta formula nos será útil para lograr nuestro propósito de medir la longitud de arco, pero antes tenemos que tener en cuenta que para poder realizar este cálculo, es necesario que la curva además de ser continua en un intervalo cerrado, sea también continua su derivada en el mismo intervalo [a,b]. También hay que saber que, no todas las curvas tienen longitud finita entre dos de sus puntos; si una curva tiene longitud finita entre dos de sus puntos, se dice que es rectificable entre esos dos puntos.



Gráfica 11.
Sea f(x), una función rectificable en el intervalo cerrado [a,b], aproximamos la curva de su gráfica mediante segmentos de recta, para hallar una estimación de su longitud. Tenemos i, donde es la partición correspondiente de [a,b] tal que


a = n1< n2< n3< n4<…< ni = b


Con esto, siendo , estimamos una aproximación de la longitud del arco, que denotamos s, así:




para:


y


podemos estimar la longitud de ese en todo el intervalo [a,b], así:






tomando el límite en el lado derecho y sacando un factor común ( x)2, podemos afirmar que la longitud del arco es:






ahora, como f'(x), es continua, entonces es aplicable el teorema del valor medio de modo que existe algún ci en [xi-1,xi], tal que:






o equivalente:






así, podemos decir que:






que realmente es equivalente a:




que finalmente es lo que definimos en cálculo integral como longitud de arco.

3.3 Cálculo de volumenes sólidos de revolución.

3.4 Cálculo de centroides.

Calculo De Las Centroides

Calculo de la Centroides por medio de la integración.
1. Preparar un esquema del cuerpo a escala.
2. Establecer un sistema de coordenadas, en la mayoría de los cuerpos que sean superficies planas, se utilizan coordenadas rectangulares, siempre que el cuerpo presente un eje o un plano de simetría se tomara uno de los ejes, el centroide se encontrara siempre sobre tal eje.
3. Seleccionar un elemento de volumen , superficie o longitud.. para la determinación del centro de masa o centro de gravedad determinar la masa o el peso del elemento utilizando la expresión adecuada de la densidad o del peso especifico.
4. Escribir una expresión del primer momento del elemento respecto a uno de los ejes o planos de referencia. Integrar la expresión para determinar el primer momento.
5. Utilizar la ecuación adecuada para obtener las coordenadas del centroide.
6. Repetir los pasos del 3 al 5 con las coordenadas obtenidas.
Otras integrales
A pesar de que las integrales de Riemann y Lebesgue son las definiciones más importantes de integral, hay unas cuantas más, por ejemplo:
* La integral de Riemann-Stieltjes, una extensión de la integral de Riemann.
* La integral de Lebesgue-Stieltjes, desarrollada por Johann Radon, que generaliza las integrales de Riemann-Stieltjes y de Lebesgue.
* La integral de Daniell, que incluye la integral de Lebesgue y la integral de Lebesgue-Stieltjes sin tener que depender de ninguna medida.
* La integral de Henstock-Kurzweil, definida de forma variada por Arnaud Denjoy, Oskar Perron, y Jaroslav Kurzweil, y desarrollada por Ralph Henstock.
* La integral de Darboux, que es equivalente a la integral de Riemann.
* La integral de Haar, que es la integral de Lebesgue con la medida de Haar.
* La integral de McShane.
* La integral de Buchner
Otras aplicaciones para las integrales.
* Área entre curvas.
* Sólidos de revolución.
* Longitud de curvas.
* Centroides de figuras planas....

EJEMPLO

3.5 Otras aplicaciones

— Aplicación del límite y la derivada a la determinación e interpretación
de las propiedades locales de funciones habituales
basadas en situaciones contextualizadas.
— Aplicación del cálculo de derivadas elementales (polinómicas,
exponenciales y logarítmicas, productos y cocientes) a problemas
de optimización. Estudio y representación gráfica de
funciones a partir de sus propiedades globales.
— Aproximación intuitiva al concepto de integral definida: El
problema del cálculo del área limitada por una curva.
Estadística y probabilidad:
— Profundización en los conceptos de probabilidades compuestas,
condicionadas, totales y a posteriori. Utilización de técnicas
elementales (conteo directo, diagrama en árbol...).
— Introducción al concepto, uso y alcance de la inferencia estadística:
Problemas relacionados con la elección de las muestras,
las condiciones de representatividad y análisis de las
conclusiones que cabe extraer de ellas.
— Estudio de algún test de contraste de hipótesis basado en la
distribución normal y aplicación a situaciones sencillas.
Criterios de evaluación
— Utilizar el lenguaje matricial y aplicar las operaciones con
matrices como instrumento para el tratamiento de situaciones
que manejen datos estructurados en forma de tablas o grafos.
— Transcribir un problema expresado en lenguaje usual al lenguaje
algebraico y resolverlo utilizando técnicas algebraicas
determinadas: Matrices, resolución de sistemas de ecuaciones
y programación lineal bidimensional.
— Analizar cualitativa y cuantitativamente las propiedades locales
(límites, crecimiento, derivadas, máximos y mínimos) de una
función que describa una situación real, extraída de fenómenos
habituales en las ciencias sociales.
— Utilizar el cálculo de derivadas como herramienta para resolver
problemas de optimización extraídos de situaciones reales de
carácter económico y sociológico.
— Asignar e interpretar probabilidades a sucesos aleatorios
simples y compuestos (dependientes o independientes) utilizando
técnicas de conteo directo, diagramas de árbol o cálculos
simples.
— Analizar informes estadísticos dados, detectando posibles
errores y manipulaciones en la presentación de determinados
datos.
Opción 6. Familia Profesional: Comunicación, Imagen y Sonido
Física
Contenidos
Vibraciones y ondas:
— Movimiento oscilatorio: El movimiento vibratorio armónico
simple.
— Movimiento ondulatorio. Magnitudes y características de las
ondas. Estudio fenomenológico de la influencia del medio en
la velocidad de propagación. Ecuación de las ondas armónicas.
Aplicaciones.
— Estudio cualitativo de algunas propiedades de las ondas: Reflexión,
refracción, difracción e interferencias. Principios de
Huygens. Ondas estacionarias.
— Contaminación sonora, sus fuentes y efectos.
Óptica:
— Controversia sobre la naturaleza de la luz: Análisis de losmodelos
corpuscular y ondulatorio e influencia de los factores
extracientíficos en su aceptación por la comunidad científica.
— Dependencia de la velocidad de la luz con el medio. Algunos
fenómenos producidos con el cambio de medio: Reflexión,
refracción, absorción y dispersión.
— Óptica geométrica: Comprensión de la visión y formación de
imágenes en espejos y lentes delgadas. Aplicación al estudio
de algún sistema óptico.
— Estudio cualitativo y experimental de los fenómenos de difracción,
interferencias, dispersión y espectro visible.
— Aplicaciones: Visión del color y espectroscopia.
Interacción electromagnética:
— Campo eléctrico. Magnitudes que lo caracterizan: Intensidad
de campo y potencial eléctrico. Relación entre ellas.
— Creación de campos magnéticos por cargas en movimiento.
Estudio experimental de algunos casos concretos: Campos
creados por una corriente rectilínea indefinida y por un solenoide
en su interior. Explicación del magnetismo natural.
— Fuerzas sobre cargas móviles situadas en campos magnéticos:
Ley de Lorentz. Aplicación al estudio del movimiento de
cargas eléctricas en campos magnéticos uniformes. Definición
internacional de amperio.
— Flujo magnético. Producción de corrientes alternas mediante
variaciones del flujo magnético: Inducción electromagnética.
Importancia de su producción e impacto ambiental.
— Aproximación histórica a la utilización de la electricidad, el
magnetismo y la óptica: Síntesis electromagnética.
— Analogías y diferencias entre distintos campos conservativos
(gravitatorio y eléctrico), y entre conservativos y no conservativos
(eléctrico y magnético).
Criterios de evaluación
— Deducir a partir de la ecuación de ondas las magnitudes que
las caracterizan y asociar dichas características a su percepción
sensorial.
— Justificar algunos fenómenos ópticos sencillos de formación
de imágenes, y representar alguno de ellos.
— Utilizar el concepto de campo para superar las dificultades
que plantea la interacción a distancia, calcular los campos
creados por cargas y corrientes y las fuerzas que actúan sobre
cargas y corrientes en el seno de campos uniformes, y justificar
el fundamento de algunas aplicaciones prácticas.
Imagen
Contenidos
Imagen fija:
— Fotografía. El campo visual. El enfoque y la superposición.
La aplicación de la fotografía en la elaboración de un mensaje,
a través de los distintos modos de lenguaje. El fotomontaje.
Estrategias visuales.
— Imágenes generadas por ordenador. Captación y transformación
de imágenes. Fabricación de imágenes a través de programas
específicos. Intercambio de imágenes vídeo-ordenador.
Aplicaciones gráficas del ordenador: Diseño gráfico, ilustración,
cine y televisión, ciencia, industria, negocios.
— Diaporama: Diapositivas a mano y con cámara. Estructuración.
Preparación de diapositivas. Utilización del proyector.
Diaporama con dos o más proyectores. Unidad de fundido.
Composición con imágenes fundidas o con imágenes adosadas.
— Cómic. Análisis Preiconográfico: Análisis iconográfico.
Análisis iconológico. Estructuración gráfica: Predominio
sincrónico o didáctico, ritmo y secuencias cambiantes, códigos
cinéticos, códigos gestuales. La viñeta y el globo. Delta
y estilema.
— Fotonovela: Guión literario, secuenciación fotográfica. Montaje
y distribución, imagen-texto.
— Publicidad gráfica. Imagen y palabra. El color en la publicidad.
Medios: Publicidad exterior, publicidad en lugar de ventas,
prensa y revistas, impresos. Objetivos de la publicidad.
— Copy-art. Toma directa. Efectos con diferentes soportes.Modelos
corporales. Retratos. Procesos degenerativos. Reentintados.
Superposiciones. Fotocopias al vaciado. El “collage”.
Aplicaciones al diseño y maquetación. Producción seriada.
Imagen en movimiento:
— Dibujos animados. El lenguaje de la animación, técnicas de
animación. Animación por ordenador. Animación en cine.
Animación en vídeo.
— Cine. Guión literario. Guión técnico. “Story board”. Unidades
de narración: Plano, escena, secuencia. Tipos de plano utilizados.
Movimientos de la cámara. Ángulos de toma. Signos
de puntuación y tiempo. Equipos de realización. Materiales.
— Vídeo. Guión literario. Guión técnico. Manejo de la cámara.

http://youtu.be/LuIyYqlfdoQ

Evaluacion Parcial 4.1 , 4.1.1 y 4.1.2

Evaluacion = 100%

Atentamente
Ing José Enrique Márquez E.

4.1.2 infinitas (Criterio de d'alembert y criterio de ), 4.1.1 finita, 4.1 definicion de serie

4.1 Definicion de serie
Definiciones y notación.

A la suma de una sucesión de términos se denomina SERIE y el valor de dicha suma, si es que tiene
alguno, se define como

S = lim S n .
n→∞
Un ejemplo de serie infinita, denominada así debido a que dicha sucesión es infinita, es la
denominada serie geométrica, la cual se obtiene a partir de un térmno inicial
multiplicado por una cantidad constante, p. ej.
a + ar + ar 2  + ar 3  + ⋅ ⋅ ⋅ + ar n −1  + ⋅ ⋅ ⋅ .  En
este caso la cantidad inicial a es multiplicada por la cantidad constante r para obtener dicha
serie infinita.
En general una serie infinita significa una expresión de la forma
a1 + a2  + a3  + ⋅ ⋅ ⋅ + an  + ⋅ ⋅ ⋅ ,
donde las an son números o funciones dadas por alguna regla o fórmula.  Los tres puntos
significan que la serie nunca termina.  Si se tiene duda de cómo es la regla usada en la
formación e la serie, el término general o término n-ésimo deberá expresarse, p. ej.
12  + 2 2  + ⋅ ⋅ ⋅ + n 2  + ⋅ ⋅ ⋅
x − x 2  +  x
2
+ ⋅ ⋅ ⋅ +
(− 1)n−1 x n
(n − 1)!
+ ⋅ ⋅ ⋅
También usaremos formas abreviadas para denotar las series, p. ej. para las series anteriores, la
forma abreviada será




∞
∑
n=1
∞
∑ n 2
n =1
(− 1)n−1 x n
(n − 1)!   .

Las aplicaciones de las series infinitas son muchas, pero mencionamos como lo más importante para
nosotros en este momentos, su uso en la solución de problemas matemáticos que no pueden resolverse
en términos de funciones elementales ( potencias, raíces, funciones trigonométricas y sus inversas,
logaritmos  y exponenciales y combinaciones de estos), o en caso de que puedan resolverse, es muy
complicado trabajar con ellos.  En estos casos encontramos una respuesta en función de una serie y
usamos
los términos requeridos de acuerdo a la presición deseada.  Las ecuaciones diferenciales son
resueltas en muchas ocasiones en función de series infinitas.  Una integral definida,
0.1
por ejemplo,
∫ e − x
0
dx , para la cual no hay solución en términos de funciones
elementales, se puede resolver su expandiendo su integrando en una serie e integrando término a
término dicha serie.

4.1.1

Finitas

Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución deecuaciones diferenciales.

La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con Δf. El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula

Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder  con su derivada , es decir, 

Formalmente, invirtiendo la exponencial,

Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones analíticas, las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede tratarse de una serie asintótica. Sin embargo, pueden emplearse para obtener aproximaciones más precisas de la derivada. Por ejemplo, Los dos primeros términos de la serie llevan a:

El error de la aproximación es del orden de h².

Las fórmulas análogas para los operadores posterior y central son

4.1.2

Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón)

Sea una serie , tal que a_k > 0 ( serie de términos positivos).

Si existe

con , el Criterio de D'Alembert establece que:

• si L < 1, la serie converge.
• si L > 1, entonces la serie diverge.
• si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sea una serie , tal que a_k > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

, siendo 

Entonces, si:

• L < 1, la serie es convergente.
• L > 1 entonces la serie es divergente.
• L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.